学而思教师版第六讲数阵图(可编辑

2018-04-23 08:20

  学而思教师版第六讲数阵图第六讲数阵图教学目标数阵图问题千变万化,一般没有特定的解法,往往需 要综合运用掌握的各种数学知识来解决问题。本讲除了要讲授填数真阵图的主要 技巧,还有以下注意点:引导学生从整体到局部对问题进行观察和判断;教授巧 妙利用容斥原理、余数的性质、整体性质的数学方法;锻炼学生利用已知信息枚 举,尝试的能力;培养学生综合运用各种数学知识,分析问题,找问题关键,解 决问题的能力。经典精讲数阵图问题千变万化,这一类问题要求数阵中填入了一 些数以后,能数阵中特定关系线(或关系区域)上的数的和相等,解决这类 问题可以按以下步骤解决问题:第一步:区分数阵图中的普通点(或方格),和 交叉点(方格)第二步:在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数, 计算各个点与该点被重复计算次数之积得和得代数式,即数阵图关系线(关系区 域)上喝的中和,这个合适关系线(关系区域)的个数的整数倍。第三步:判断 少数关键点上可以填入的数的余数性质,并得出相应的数阵图关系线(关系区域) 和。第四步:运用已经得到的信息进行尝试:数阵图还有一类题型比较少见,解 决这一类问题需要理清数阵中数与数之间的相关关系,找出问题关键,基本类型 的数阵图将 填入左下图的六个中,是三角形每条边上的三个数之和都等于,请指出的取值范围。【分析】设三角形三个顶点的数字之和为,因为每个顶 点属于两条边公有,所以把边的数字和加起来,等于将1 加一遍,同时将三个顶点数字多加一遍,于是有(1+2+3+4+5+6)+ ,化简后为。由于是三个数之和,故最小为 1+2+3=6,最大为 4+5+6=15,由此求出 值:通过实验,每组取值都相应一种填数方法(见右上图)。点亮设计:(1)求数阵问题的关键是找到关键数,也就是重复数,学生学会找关键词的方法是 最重要的。(2)设计问题:三角形每条边之和等于1~6 的和吗?为什么?不等于, 因为边上所有数相加的过程中三个角上的数都被重复加一次,也就是说三个 角上的数是重复数,三个重复数的和可求为:3 。(3)强调分组法与试验法:知 道了三个数的和,通过分组可以知道的取值范围,进一步采用实验法,将它们一 一进行试验,选择正确的结果。(4)小结:对于封闭型的数阵,重复数其本上都 是两条线相交的点,就在后面的例题中有大量体现。【铺垫】将 六个自然数分别填入下图的内,使三角形每边上的三数之和都等于11. 【分析】此图是封闭3―3 图,因为每条边上的和都为11,那么边上的 数字之和为11 ,而1+2+ „+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12, 中选3个和为12 的数,且其中任意两个的和不等于11,这样的组合有: 12=2+4+6=3+4+5,经试验,填法如图。像例题中的数阵图,它的各边相互连接, 形成封闭图形,我们称它们为“封闭型数阵图”天这样的图形,主要是顶点数字, 抓住条件提供的关系方式,进行分析,用试验的方法确定顶点数以及各边上的数 字之和,最后填出数阵图。一般地,有条边,每条有个数的图形称为封闭型(或 辐射型或复合型)图,封闭型图有个重叠数,重叠次数都是1 次。对于封闭型数 阵图,因为重叠一次,所以:已知各数之和+重叠之和=每边各数之和边数把 10 至20 这11 个数分别填入下图的各圆圈内,是每条线 个圆内所填的和都相等。 如果中心圆内填的数相等,那么就视为同一种填法,请写出所有可能的填法。[分 析]将五条边上的和相加,得数一定是 次,而10+11+12+„+20=165.所以中间的数必须是5的倍数,才能使在中间的数 多被计算了4 次后,综合仍能被5 整除。所以中间的数只能是10、15、20.。亮 点设计:(1)老师首先让学生进行试做,并让学生尝试多种填法。(2)当要 求将20、22、24、„38、40 十一个数字填入数阵,应该怎么填?分析:如例题。 将五条边上的和相加,得数一定是5 的倍数,其中中间的数被重复计算了5 的倍数,才能使在中间的数多被计算了4 次后,总和仍能被5 整除。所以中间的数只能是20、30、40. (3)将这个数阵进行变形,变为如下形式:填入 10~20 十一个数,使得每 条线断和每个圆周上所有数的和相等,如果中心圆内填的数相等,那么就视为同 一种填法。问中间的数有多少种填法?分析:计算7 个和的和,这个和一定是7 的倍数,其中中心圆上的数被计算了5 遍,其它数只是被计算了2 遍,设中心圆 上的数为,因此这个数等于,取31+7 ,31+ 可以被3 整除,经试验,只能是15。 [铺垫]将1~7 这七个数字,分别填入图中各个内,使每条线段上的三个内数 的和相等。【分析】设中心内填,由于线上的数字和相加应是 的倍数,其中一共加了3 次,所以1+2+3+4+5+6+7+2 =28+2 一定是3 的倍数。而28 当28+2=30,30,10-1=9,除中心外,其它两数的和应是9,只要把2,3, 4,5,6,7,六个数按“和”是9 分成三组填入相应的,内就可以了。填法如 图(1)当时,28+8=36,36 。填法如图(2)当时,28+14=42,42 。填法如图 (3)像例题中的数阵图,它的特点是从一个中心出发,想外作了一些射线,我 们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每 条线段上的几个数的和,然后通过对各数的分析,进行试验填数求解。辐射型数 阵图只有一个重叠数,重叠次数是“直线,即,对于辐射型数阵图,有 已知各数之和+重叠数重叠次数直线上各数之和直线条数。下图中有三个正三角 填入它们顶点处的九个种,要求每个正三角形顶点的三数之和都相等,并且通过四个的每条直线上的四数之和也相等。【分析】每个正三角形顶 点的三数之和为(1+2+„+9),每条直线 数分为三个一组,且每组三个数的和为15只有如下两种分法:(1)1,5,9;2, 6,7;3,4,8;(2)1,6,8;2,4,9;3,5,7;对于(1),中心小正三角形 三个顶点数为1,5,9 时,可得中间图的解;对于(2),中心小三角形三个顶点

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